פתור את {l}{2m+c=3}{5m+c=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + c = 3 } \\ { 5 m + c = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, c

$$m=-2$$

$$c=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2m+c=3,5m+c=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2m+c=3$$

החסר ‎c משני אגפי המשוואה.

$$2m=-c+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-c+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-c+3.

$$m=-\frac{1}{2}c+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-c+3}{2} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎5m+c=-3.

$$5\left(-\frac{1}{2}c+\frac{3}{2}\right)+c=-3$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-c+3}{2}.

$$-\frac{5}{2}c+\frac{15}{2}+c=-3$$

הוסף את ‎-\frac{5c}{2} ל- ‎c.

$$-\frac{3}{2}c+\frac{15}{2}=-3$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}c=-\frac{21}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$c=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום c ב- ‎m=-\frac{1}{2}c+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎7.

$$m=\frac{-7+3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎-\frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=-2,c=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2m+c=3,5m+c=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5}&-\frac{1}{2-5}\\-\frac{5}{2-5}&\frac{2}{2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{5}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- c.

$$m=-2,c=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2m+c=3,5m+c=-3$$

החסר את ‎5m+c=-3 מ- ‎2m+c=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2m-5m+c-c=3+3$$

הוסף את ‎c ל- ‎-c. האיברים ‎c ו- ‎-c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2m-5m=3+3$$

הוסף את ‎2m ל- ‎-5m.

$$-3m=3+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎3.

$$-3m=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$m=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום m ב- ‎5m+c=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$5\left(-2\right)+c=-3$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2.

$$-10+c=-3$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$c=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=-2,c=7$$