פתור את {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2m+3n=22$$

החסר ‎3n משני אגפי המשוואה.

$$2m=-3n+22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

השתמש ב- ‎-\frac{3n}{2}+11 במקום ‎m במשוואה השניה, ‎m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

הוסף את ‎-\frac{3n}{2} ל- ‎-2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

החסר ‎11 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=\frac{10}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{10}{7} במקום n ב- ‎m=-\frac{3}{2}n+11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{10}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

הוסף את ‎11 ל- ‎-\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

כדי להפוך את ‎2m ו- ‎m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

פשט.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

החסר את ‎2m-4n=12 מ- ‎2m+3n=22 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

הוסף את ‎2m ל- ‎-2m. האיברים ‎2m ו- ‎-2m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3n+4n=22-12$$

הוסף את ‎3n ל- ‎4n.

$$7n=22-12$$

הוסף את ‎22 ל- ‎-12.

$$7n=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$n=\frac{10}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{10}{7} במקום n ב- ‎m-2n=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

הוסף ‎\frac{20}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$m=\frac{62}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$