פתור את {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2m+3n=1$$

החסר ‎3n משני אגפי המשוואה.

$$2m=-3n+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3n+1}{2} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎7m+3n=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

הוסף את ‎-\frac{21n}{2} ל- ‎3n.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{15}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום n ב- ‎m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

החסר את ‎7m+3n=6 מ- ‎2m+3n=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

הוסף את ‎3n ל- ‎-3n. האיברים ‎3n ו- ‎-3n מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2m-7m=1-6$$

הוסף את ‎2m ל- ‎-7m.

$$-5m=1-6$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-6.

$$-5m=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$m=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום m ב- ‎7m+3n=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את n ישירות.

$$7+3n=6$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$3n=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$n=-\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$