פתור את {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3b משני האגפים.

$$2a-3b=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2a-3b=0$$

הוסף ‎3b לשני אגפי המשוואה.

$$2a=3b$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

השתמש ב- ‎\frac{3b}{2} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

הוסף את ‎\frac{21b}{2} ל- ‎2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{25}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=16$$

השתמש ב- ‎16 במקום b ב- ‎a=\frac{3}{2}b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎16.

$$a=24$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=24,b=16$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3b משני האגפים.

$$2a-3b=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=24,b=16$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3b משני האגפים.

$$2a-3b=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

כדי להפוך את ‎2a ו- ‎7a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

פשט.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

החסר את ‎14a+4b=400 מ- ‎14a-21b=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

הוסף את ‎14a ל- ‎-14a. האיברים ‎14a ו- ‎-14a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-21b-4b=-400$$

הוסף את ‎-21b ל- ‎-4b.

$$-25b=-400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-25.

$$b=16$$

השתמש ב- ‎16 במקום b ב- ‎7a+2b=200. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$7a+2\times 16=200$$

הכפל את ‎2 ב- ‎16.

$$7a+32=200$$

החסר ‎32 משני אגפי המשוואה.

$$7a=168$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$a=24$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=24,b=16$$