פתור את {l}{2a+3b=4}{3a-8b=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { 3 a - 8 b = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a = \frac{47}{25} = 1\frac{22}{25} = 1.88$$

$$b=\frac{2}{25}=0.08$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2a+3b=4$$

החסר ‎3b משני אגפי המשוואה.

$$2a=-3b+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{3b}{2}+2 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎3a-8b=5.

$$3\left(-\frac{3}{2}b+2\right)-8b=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3b}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}b+6-8b=5$$

הוסף את ‎-\frac{9b}{2} ל- ‎-8b.

$$-\frac{25}{2}b+6=5$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{25}{2}b=-1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{25}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=\frac{2}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{25} במקום b ב- ‎a=-\frac{3}{2}b+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{25}+2$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{2}{25} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=-\frac{3}{25}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{3}{25}.

$$a=\frac{47}{25}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-8\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 4-\frac{2}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{25}\\\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

כדי להפוך את ‎2a ו- ‎3a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2a+3\times 3b=3\times 4,2\times 3a+2\left(-8\right)b=2\times 5$$

פשט.

$$6a+9b=12,6a-16b=10$$

החסר את ‎6a-16b=10 מ- ‎6a+9b=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6a-6a+9b+16b=12-10$$

הוסף את ‎6a ל- ‎-6a. האיברים ‎6a ו- ‎-6a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9b+16b=12-10$$

הוסף את ‎9b ל- ‎16b.

$$25b=12-10$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-10.

$$25b=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$b=\frac{2}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{25} במקום b ב- ‎3a-8b=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$3a-8\times \frac{2}{25}=5$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{2}{25}.

$$3a-\frac{16}{25}=5$$

הוסף ‎\frac{16}{25} לשני אגפי המשוואה.

$$3a=\frac{141}{25}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=\frac{47}{25}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$