פתור את {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2a+3b=4$$

החסר ‎3b משני אגפי המשוואה.

$$2a=-3b+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{3b}{2}+2 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎-2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

הוסף את ‎3b ל- ‎3b.

$$6b-4=-16$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$6b=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$b=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום b ב- ‎a=-\frac{3}{2}b+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-2.

$$a=3+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎3.

$$a=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=5,b=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=5,b=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

החסר את ‎-2a+3b=-16 מ- ‎2a+3b=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

הוסף את ‎3b ל- ‎-3b. האיברים ‎3b ו- ‎-3b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2a+2a=4+16$$

הוסף את ‎2a ל- ‎2a.

$$4a=4+16$$

הוסף את ‎4 ל- ‎16.

$$4a=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום a ב- ‎-2a+3b=-16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$-2\times 5+3b=-16$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎5.

$$-10+3b=-16$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$3b=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$b=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=5,b=-2$$