פתור את {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

החסר ‎12x משני האגפים.

$$2-y-12x=6+y$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2-y-12x-y=6$$

כנס את ‎-y ו- ‎-y כדי לקבל ‎-2y.

$$2-2y-12x=6$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$-2y-12x=6-2$$

החסר את 2 מ- 6 כדי לקבל 4.

$$-2y-12x=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+4-3y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2y-12x=4$$

הוסף ‎12x לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=12x+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎12x+4.

$$y=-6x-2$$

השתמש ב- ‎-6x-2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

הוסף את ‎18x ל- ‎x.

$$19x+6=-4$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$19x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$x=-\frac{10}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{10}{19} במקום x ב- ‎y=-6x-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{60}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

החסר ‎12x משני האגפים.

$$2-y-12x=6+y$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2-y-12x-y=6$$

כנס את ‎-y ו- ‎-y כדי לקבל ‎-2y.

$$2-2y-12x=6$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$-2y-12x=6-2$$

החסר את 2 מ- 6 כדי לקבל 4.

$$-2y-12x=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+4-3y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

החסר ‎12x משני האגפים.

$$2-y-12x=6+y$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2-y-12x-y=6$$

כנס את ‎-y ו- ‎-y כדי לקבל ‎-2y.

$$2-2y-12x=6$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$-2y-12x=6-2$$

החסר את 2 מ- 6 כדי לקבל 4.

$$-2y-12x=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+4-3y=0$$

החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

כדי להפוך את ‎-2y ו- ‎-3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

פשט.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

החסר את ‎6y-2x=8 מ- ‎6y+36x=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-6y. האיברים ‎6y ו- ‎-6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36x+2x=-12-8$$

הוסף את ‎36x ל- ‎2x.

$$38x=-12-8$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎-8.

$$38x=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎38.

$$x=-\frac{10}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{10}{19} במקום x ב- ‎-3y+x=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

הוסף ‎\frac{10}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$