פתור את {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$2x+6=3y+4$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x+6-3y=4$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$2x-3y=4-6$$

החסר את 6 מ- 4 כדי לקבל -2.

$$2x-3y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

חבר את ‎-4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x-3y-3=-1$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$x-3y=-1+3$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$x-3y=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-2$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-3y=2.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-2.

$$x=-3-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-3.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$2x+6=3y+4$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x+6-3y=4$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$2x-3y=4-6$$

החסר את 6 מ- 4 כדי לקבל -2.

$$2x-3y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

חבר את ‎-4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x-3y-3=-1$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$x-3y=-1+3$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$x-3y=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$2x+6=3y+4$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x+6-3y=4$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$2x-3y=4-6$$

החסר את 6 מ- 4 כדי לקבל -2.

$$2x-3y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

חבר את ‎-4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x-3y-3=-1$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$x-3y=-1+3$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$x-3y=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

החסר את ‎x-3y=2 מ- ‎2x-3y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎3y. האיברים ‎-3y ו- ‎3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-x=-2-2$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-x.

$$x=-2-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-2.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎x-3y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-4-3y=2$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-3y=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-2$$