\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { \frac { 3 x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 6 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=2
y=-9
גרף
שתף
הועתק ללוח
6x-2y=2\left(x-5y\right)-64
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 3x-y.
6x-2y=2x-10y-64
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-5y.
6x-2y-2x=-10y-64
החסר 2x משני האגפים.
4x-2y=-10y-64
כנס את 6x ו- -2x כדי לקבל 4x.
4x-2y+10y=-64
הוסף 10y משני הצדדים.
4x+8y=-64
כנס את -2y ו- 10y כדי לקבל 8y.
3\times 3x-2y=36
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.
9x-2y=36
הכפל את 3 ו- 3 כדי לקבל 9.
4x+8y=-64,9x-2y=36
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
4x+8y=-64
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
4x=-8y-64
החסר 8y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)
חלק את שני האגפים ב- 4.
x=-2y-16
הכפל את \frac{1}{4} ב- -8y-64.
9\left(-2y-16\right)-2y=36
השתמש ב- -2y-16 במקום x במשוואה השניה, 9x-2y=36.
-18y-144-2y=36
הכפל את 9 ב- -2y-16.
-20y-144=36
הוסף את -18y ל- -2y.
-20y=180
הוסף 144 לשני אגפי המשוואה.
y=-9
חלק את שני האגפים ב- -20.
x=-2\left(-9\right)-16
השתמש ב- -9 במקום y ב- x=-2y-16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=18-16
הכפל את -2 ב- -9.
x=2
הוסף את -16 ל- 18.
x=2,y=-9
המערכת נפתרה כעת.
6x-2y=2\left(x-5y\right)-64
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 3x-y.
6x-2y=2x-10y-64
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-5y.
6x-2y-2x=-10y-64
החסר 2x משני האגפים.
4x-2y=-10y-64
כנס את 6x ו- -2x כדי לקבל 4x.
4x-2y+10y=-64
הוסף 10y משני הצדדים.
4x+8y=-64
כנס את -2y ו- 10y כדי לקבל 8y.
3\times 3x-2y=36
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.
9x-2y=36
הכפל את 3 ו- 3 כדי לקבל 9.
4x+8y=-64,9x-2y=36
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=2,y=-9
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
6x-2y=2\left(x-5y\right)-64
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 3x-y.
6x-2y=2x-10y-64
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-5y.
6x-2y-2x=-10y-64
החסר 2x משני האגפים.
4x-2y=-10y-64
כנס את 6x ו- -2x כדי לקבל 4x.
4x-2y+10y=-64
הוסף 10y משני הצדדים.
4x+8y=-64
כנס את -2y ו- 10y כדי לקבל 8y.
3\times 3x-2y=36
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.
9x-2y=36
הכפל את 3 ו- 3 כדי לקבל 9.
4x+8y=-64,9x-2y=36
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36
כדי להפוך את 4x ו- 9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 4.
36x+72y=-576,36x-8y=144
פשט.
36x-36x+72y+8y=-576-144
החסר את 36x-8y=144 מ- 36x+72y=-576 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
72y+8y=-576-144
הוסף את 36x ל- -36x. האיברים 36x ו- -36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
80y=-576-144
הוסף את 72y ל- 8y.
80y=-720
הוסף את -576 ל- -144.
y=-9
חלק את שני האגפים ב- 80.
9x-2\left(-9\right)=36
השתמש ב- -9 במקום y ב- 9x-2y=36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
9x+18=36
הכפל את -2 ב- -9.
9x=18
החסר 18 משני אגפי המשוואה.
x=2
חלק את שני האגפים ב- 9.
x=2,y=-9
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}