\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=1
y=-1
גרף
שתף
הועתק ללוח
2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
4x-6+3\left(y+4\right)=7
הכפל את 2 ב- 2x-3.
4x-6+3y+12=7
הכפל את 3 ב- y+4.
4x+3y+6=7
הוסף את -6 ל- 12.
4x+3y=1
החסר 6 משני אגפי המשוואה.
4x=-3y+1
החסר 3y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)
חלק את שני האגפים ב- 4.
x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}
הכפל את \frac{1}{4} ב- -3y+1.
4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3
השתמש ב- \frac{-3y+1}{4} במקום x במשוואה השניה, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.
4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3
הוסף את \frac{1}{4} ל- 2.
-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3
הכפל את 4 ב- \frac{-3y+9}{4}.
-3y+9+5y-10=-3
הכפל את -5 ב- -y+2.
2y+9-10=-3
הוסף את -3y ל- 5y.
2y-1=-3
הוסף את 9 ל- -10.
2y=-2
הוסף 1 לשני אגפי המשוואה.
y=-1
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}
השתמש ב- -1 במקום y ב- x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{3+1}{4}
הכפל את -\frac{3}{4} ב- -1.
x=1
הוסף את \frac{1}{4} ל- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=1,y=-1
המערכת נפתרה כעת.
2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7
פשט את המשוואה הראשונה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.
4x-6+3\left(y+4\right)=7
הכפל את 2 ב- 2x-3.
4x-6+3y+12=7
הכפל את 3 ב- y+4.
4x+3y+6=7
הוסף את -6 ל- 12.
4x+3y=1
החסר 6 משני אגפי המשוואה.
4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3
פשט את המשוואה השניה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.
4x+8-5\left(-y+2\right)=-3
הכפל את 4 ב- x+2.
4x+8+5y-10=-3
הכפל את -5 ב- -y+2.
4x+5y-2=-3
הוסף את 8 ל- -10.
4x+5y=-1
הוסף 2 לשני אגפי המשוואה.
\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=1,y=-1
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}