פתור את {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$16m+50n=55$$

החסר ‎50n משני אגפי המשוואה.

$$16m=-50n+55$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{16} ב- ‎-50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

השתמש ב- ‎-\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

הוסף את ‎-\frac{25n}{4} ל- ‎4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

החסר ‎\frac{55}{8} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=\frac{5}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{6} במקום n ב- ‎m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

הכפל את ‎-\frac{25}{8} ב- ‎\frac{5}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

הוסף את ‎\frac{55}{16} ל- ‎-\frac{125}{48} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

כדי להפוך את ‎16m ו- ‎2m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

פשט.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

החסר את ‎32m+64n=80 מ- ‎32m+100n=110 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

הוסף את ‎32m ל- ‎-32m. האיברים ‎32m ו- ‎-32m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$100n-64n=110-80$$

הוסף את ‎100n ל- ‎-64n.

$$36n=110-80$$

הוסף את ‎110 ל- ‎-80.

$$36n=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎36.

$$n=\frac{5}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{6} במקום n ב- ‎2m+4n=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

החסר ‎\frac{10}{3} משני אגפי המשוואה.

$$2m=\frac{5}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$