פתור את {l}{12=a+b}{2=6a+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 = a + b } \\ { 2 = 6 a + b } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-2$$

$$b=14$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b=12$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$6a+b=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+b=12,6a+b=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+b=12$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$a=-b+12$$

השתמש ב- ‎-b+12 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎6a+b=2.

$$6\left(-b+12\right)+b=2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-b+12.

$$-6b+72+b=2$$

הוסף את ‎-6b ל- ‎b.

$$-5b+72=2$$

החסר ‎72 משני אגפי המשוואה.

$$-5b=-70$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$b=14$$

השתמש ב- ‎14 במקום b ב- ‎a=-b+12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-14+12$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-14.

$$a=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-2,b=14$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b=12$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$6a+b=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+b=12,6a+b=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-6}&-\frac{1}{1-6}\\-\frac{6}{1-6}&\frac{1}{1-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{6}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\14\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-2,b=14$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b=12$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$6a+b=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+b=12,6a+b=2$$

החסר את ‎6a+b=2 מ- ‎a+b=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a-6a+b-b=12-2$$

הוסף את ‎b ל- ‎-b. האיברים ‎b ו- ‎-b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$a-6a=12-2$$

הוסף את ‎a ל- ‎-6a.

$$-5a=12-2$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-2.

$$-5a=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$a=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום a ב- ‎6a+b=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$6\left(-2\right)+b=2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-2.

$$-12+b=2$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$b=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-2,b=14$$