פתור את {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6y משני האגפים.

$$10x+y-6y=5$$

כנס את ‎y ו- ‎-6y כדי לקבל ‎-5y.

$$10x-5y=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎10x משני האגפים.

$$10y+x-10x=y+27$$

כנס את ‎x ו- ‎-10x כדי לקבל ‎-9x.

$$10y-9x=y+27$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$10y-9x-y=27$$

כנס את ‎10y ו- ‎-y כדי לקבל ‎9y.

$$9y-9x=27$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10x-5y=5$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$10x=5y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1+y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎\frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

הוסף ‎\frac{9}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6y משני האגפים.

$$10x+y-6y=5$$

כנס את ‎y ו- ‎-6y כדי לקבל ‎-5y.

$$10x-5y=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎10x משני האגפים.

$$10y+x-10x=y+27$$

כנס את ‎x ו- ‎-10x כדי לקבל ‎-9x.

$$10y-9x=y+27$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$10y-9x-y=27$$

כנס את ‎10y ו- ‎-y כדי לקבל ‎9y.

$$9y-9x=27$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6y משני האגפים.

$$10x+y-6y=5$$

כנס את ‎y ו- ‎-6y כדי לקבל ‎-5y.

$$10x-5y=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎10x משני האגפים.

$$10y+x-10x=y+27$$

כנס את ‎x ו- ‎-10x כדי לקבל ‎-9x.

$$10y-9x=y+27$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$10y-9x-y=27$$

כנס את ‎10y ו- ‎-y כדי לקבל ‎9y.

$$9y-9x=27$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

כדי להפוך את ‎10x ו- ‎-9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

פשט.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

החסר את ‎-90x+90y=270 מ- ‎-90x+45y=-45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

הוסף את ‎-90x ל- ‎90x. האיברים ‎-90x ו- ‎90x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$45y-90y=-45-270$$

הוסף את ‎45y ל- ‎-90y.

$$-45y=-45-270$$

הוסף את ‎-45 ל- ‎-270.

$$-45y=-315$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-45.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎-9x+9y=27. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-9x+9\times 7=27$$

הכפל את ‎9 ב- ‎7.

$$-9x+63=27$$

החסר ‎63 משני אגפי המשוואה.

$$-9x=-36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=7$$