פתור את {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=14$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10x+5y=170$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$10x=-5y+170$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎-5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+17 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎10y.

$$7y+102=200$$

החסר ‎102 משני אגפי המשוואה.

$$7y=98$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=14$$

השתמש ב- ‎14 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎14.

$$x=-7+17$$

הוסף את ‎17 ל- ‎-7.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=14$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=14$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

כדי להפוך את ‎10x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎10.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

פשט.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

החסר את ‎60x+100y=2000 מ- ‎60x+30y=1020 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

הוסף את ‎60x ל- ‎-60x. האיברים ‎60x ו- ‎-60x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$30y-100y=1020-2000$$

הוסף את ‎30y ל- ‎-100y.

$$-70y=1020-2000$$

הוסף את ‎1020 ל- ‎-2000.

$$-70y=-980$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-70.

$$y=14$$

השתמש ב- ‎14 במקום y ב- ‎6x+10y=200. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+10\times 14=200$$

הכפל את ‎10 ב- ‎14.

$$6x+140=200$$

החסר ‎140 משני אגפי המשוואה.

$$6x=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=14$$