פתור את {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10x+10y=9$$

החסר ‎10y משני אגפי המשוואה.

$$10x=-10y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎-10y+9.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

השתמש ב- ‎-y+\frac{9}{10} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-y+\frac{9}{10}.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-2y.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=-y+\frac{9}{10}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

הוסף את ‎\frac{9}{10} ל- ‎-\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

כדי להפוך את ‎10x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎10.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

פשט.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

החסר את ‎50x-20y=10 מ- ‎50x+50y=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$50y+20y=45-10$$

הוסף את ‎50y ל- ‎20y.

$$70y=45-10$$

הוסף את ‎45 ל- ‎-10.

$$70y=35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎70.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎5x-2y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{1}{2}.

$$5x-1=1$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{2}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$