פתור את {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$1.5x-3.5y=-5$$

הוסף ‎\frac{7y}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$1.5x=3.5y-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎\frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y-10}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-1.2x+2.5y=1.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

הכפל את ‎-1.2 ב- ‎\frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

הוסף את ‎-\frac{14y}{5} ל- ‎\frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-0.3y=-3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

הכפל את ‎\frac{7}{3} ב- ‎10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{10}{3} ל- ‎\frac{70}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=20,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=20,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

כדי להפוך את ‎\frac{3x}{2} ו- ‎-\frac{6x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1.2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.5.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

פשט.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

החסר את ‎-1.8x+3.75y=1.5 מ- ‎-1.8x+4.2y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

הוסף את ‎-\frac{9x}{5} ל- ‎\frac{9x}{5}. האיברים ‎-\frac{9x}{5} ו- ‎\frac{9x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

הוסף את ‎\frac{21y}{5} ל- ‎-\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-1.5.

$$0.45y=4.5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.45, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎-1.2x+2.5y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

הכפל את ‎2.5 ב- ‎10.

$$-1.2x+25=1$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$-1.2x=-24$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-1.2, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=20,y=10$$