פתור את {l}{0.6x+0.5y=7400}{0.5y-0.4x=1600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.6 x + 0.5 y = 7400 } \\ { 0.5 y - 0.4 x = 1600 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5800$$

$$y=7840$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.6x+0.5y=7400,-0.4x+0.5y=1600$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.6x+0.5y=7400$$

החסר ‎\frac{y}{2} משני אגפי המשוואה.

$$0.6x=-0.5y+7400$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{5}{3}\left(-0.5y+7400\right)$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-\frac{y}{2}+7400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{37000}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{37000}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-0.4x+0.5y=1600.

$$-0.4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{37000}{3}\right)+0.5y=1600$$

הכפל את ‎-0.4 ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{37000}{3}.

$$\frac{1}{3}y-\frac{14800}{3}+0.5y=1600$$

הוסף את ‎\frac{y}{3} ל- ‎\frac{y}{2}.

$$\frac{5}{6}y-\frac{14800}{3}=1600$$

הוסף ‎\frac{14800}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{6}y=\frac{19600}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{6}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7840$$

השתמש ב- ‎7840 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{6}y+\frac{37000}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{6}\times 7840+\frac{37000}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{6} ב- ‎7840.

$$x=\frac{-19600+37000}{3}$$

הוסף את ‎\frac{37000}{3} ל- ‎-\frac{19600}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5800$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5800,y=7840$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.6x+0.5y=7400,-0.4x+0.5y=1600$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\-0.4&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7400\\1600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.6&0.5\\-0.4&0.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\-0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\-0.4&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\-0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7400\\1600\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\-0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7400\\1600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\-0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7400\\1600\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{0.6\times 0.5-0.5\left(-0.4\right)}&-\frac{0.5}{0.6\times 0.5-0.5\left(-0.4\right)}\\-\frac{-0.4}{0.6\times 0.5-0.5\left(-0.4\right)}&\frac{0.6}{0.6\times 0.5-0.5\left(-0.4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7400\\1600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\0.8&1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7400\\1600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7400-1600\\0.8\times 7400+1.2\times 1600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5800\\7840\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5800,y=7840$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.6x+0.5y=7400,-0.4x+0.5y=1600$$

החסר את ‎-0.4x+0.5y=1600 מ- ‎0.6x+0.5y=7400 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.6x+0.4x+0.5y-0.5y=7400-1600$$

הוסף את ‎\frac{y}{2} ל- ‎-\frac{y}{2}. האיברים ‎\frac{y}{2} ו- ‎-\frac{y}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.6x+0.4x=7400-1600$$

הוסף את ‎\frac{3x}{5} ל- ‎\frac{2x}{5}.

$$x=7400-1600$$

הוסף את ‎7400 ל- ‎-1600.

$$x=5800$$

השתמש ב- ‎5800 במקום x ב- ‎-0.4x+0.5y=1600. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-0.4\times 5800+0.5y=1600$$

הכפל את ‎-0.4 ב- ‎5800.

$$-2320+0.5y=1600$$

הוסף ‎2320 לשני אגפי המשוואה.

$$0.5y=3920$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=7840$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5800,y=7840$$