פתור את {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$0.5x-0.8y=-5$$

הוסף ‎\frac{4y}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$0.5x=0.8y-5$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

השתמש ב- ‎\frac{8y}{5}-10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎\frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

הוסף את ‎\frac{8y}{15} ל- ‎\frac{y}{5}.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

הוסף ‎\frac{10}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{15}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎x=1.6y-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=1.6\times 10-10$$

הכפל את ‎1.6 ב- ‎10.

$$x=16-10$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎16.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{2} ו- ‎\frac{x}{3} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{3} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.5.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

פשט.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

החסר את ‎\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 מ- ‎\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

הוסף את ‎\frac{x}{6} ל- ‎-\frac{x}{6}. האיברים ‎\frac{x}{6} ו- ‎-\frac{x}{6} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{15} ל- ‎-\frac{y}{10}.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎-2.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{30}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x=2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=10$$