פתור את {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.5x+0.7y=35$$

החסר ‎\frac{7y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$0.5x=-0.7y+35$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{5}+70 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{5} ל- ‎\frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

החסר ‎70 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎x=-1.4y+70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-1.4\times 30+70$$

הכפל את ‎-1.4 ב- ‎30.

$$x=-42+70$$

הוסף את ‎70 ל- ‎-42.

$$x=28$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=28,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=28,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{2} ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.5.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

פשט.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

החסר את ‎0.5x+0.2y=20 מ- ‎0.5x+0.7y=35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

הוסף את ‎\frac{x}{2} ל- ‎-\frac{x}{2}. האיברים ‎\frac{x}{2} ו- ‎-\frac{x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

הוסף את ‎\frac{7y}{10} ל- ‎-\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-20.

$$0.5y=15$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎x+0.4y=40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+0.4\times 30=40$$

הכפל את ‎0.4 ב- ‎30.

$$x+12=40$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$x=28$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=28,y=30$$