פתור את {l}{0.4x+0.3y=0.7}{11x-10y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 0.7 } \\ { 11 x - 10 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.4x+0.3y=0.7$$

החסר ‎\frac{3y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$0.4x=-0.3y+0.7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=2.5\left(-0.3y+0.7\right)$$

הכפל את ‎2.5 ב- ‎\frac{-3y+7}{10}.

$$x=-0.75y+1.75$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+7}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎11x-10y=1.

$$11\left(-0.75y+1.75\right)-10y=1$$

הכפל את ‎11 ב- ‎\frac{-3y+7}{4}.

$$-8.25y+19.25-10y=1$$

הוסף את ‎-\frac{33y}{4} ל- ‎-10y.

$$-18.25y+19.25=1$$

החסר ‎19.25 משני אגפי המשוואה.

$$-18.25y=-18.25$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-18.25, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-0.75y+1.75. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

הוסף את ‎1.75 ל- ‎-0.75 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&-\frac{0.3}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\\-\frac{11}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&\frac{0.4}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}&\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}&-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}\times 0.7+\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}\times 0.7-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

כדי להפוך את ‎\frac{2x}{5} ו- ‎11x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎11 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.4.

$$11\times 0.4x+11\times 0.3y=11\times 0.7,0.4\times 11x+0.4\left(-10\right)y=0.4$$

פשט.

$$4.4x+3.3y=7.7,4.4x-4y=0.4$$

החסר את ‎4.4x-4y=0.4 מ- ‎4.4x+3.3y=7.7 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4.4x-4.4x+3.3y+4y=7.7-0.4$$

הוסף את ‎\frac{22x}{5} ל- ‎-\frac{22x}{5}. האיברים ‎\frac{22x}{5} ו- ‎-\frac{22x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3.3y+4y=7.7-0.4$$

הוסף את ‎\frac{33y}{10} ל- ‎4y.

$$7.3y=7.7-0.4$$

הוסף את ‎7.7 ל- ‎-0.4 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$7.3y=7.3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎7.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎11x-10y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$11x-10=1$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$11x=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$