פתור את {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎0.2y משני האגפים.

$$0.9x-0.2y=19$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.3x-0.5y=29$$

הוסף ‎\frac{y}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$0.3x=0.5y+29$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

הכפל את ‎\frac{10}{3} ב- ‎\frac{y}{2}+29.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+290}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

הכפל את ‎0.9 ב- ‎\frac{5y+290}{3}.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-\frac{y}{5}.

$$1.3y+87=19$$

החסר ‎87 משני אגפי המשוואה.

$$1.3y=-68$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{680}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{680}{13} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-\frac{680}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

הוסף את ‎\frac{290}{3} ל- ‎-\frac{3400}{39} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{370}{39}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎0.2y משני האגפים.

$$0.9x-0.2y=19$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎0.2y משני האגפים.

$$0.9x-0.2y=19$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

כדי להפוך את ‎\frac{3x}{10} ו- ‎\frac{9x}{10} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.3.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

פשט.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

החסר את ‎0.27x-0.06y=5.7 מ- ‎0.27x-0.45y=26.1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

הוסף את ‎\frac{27x}{100} ל- ‎-\frac{27x}{100}. האיברים ‎\frac{27x}{100} ו- ‎-\frac{27x}{100} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{20} ל- ‎\frac{3y}{50}.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

הוסף את ‎26.1 ל- ‎-5.7 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-0.39y=20.4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.39, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{680}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{680}{13} במקום y ב- ‎0.9x-0.2y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

הכפל את ‎-0.2 ב- ‎-\frac{680}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

החסר ‎\frac{136}{13} משני אגפי המשוואה.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.9, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{370}{39}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$