פתור את {l}{0.3x+y=4.8}{x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + y = 4.8 } \\ { x - y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{158}{13} = 12\frac{2}{13} \approx 12.153846154$$

$$y = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.3x+y=4.8$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$0.3x=-y+4.8$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{10}{3}\left(-y+4.8\right)$$

הכפל את ‎\frac{10}{3} ב- ‎-y+4.8.

$$x=-\frac{10}{3}y+16$$

השתמש ב- ‎-\frac{10y}{3}+16 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=11.

$$-\frac{10}{3}y+16-y=11$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{13}{3}y+16=11$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{3}y=-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{15}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{15}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{10}{3}y+16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{15}{13}+16$$

הכפל את ‎-\frac{10}{3} ב- ‎\frac{15}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{50}{13}+16$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-\frac{50}{13}.

$$x=\frac{158}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&\frac{0.3}{0.3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{10}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}\times 4.8+\frac{10}{13}\times 11\\\frac{10}{13}\times 4.8-\frac{3}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{158}{13}\\\frac{15}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

כדי להפוך את ‎\frac{3x}{10} ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.3.

$$0.3x+y=4.8,0.3x+0.3\left(-1\right)y=0.3\times 11$$

פשט.

$$0.3x+y=4.8,0.3x-0.3y=3.3$$

החסר את ‎0.3x-0.3y=3.3 מ- ‎0.3x+y=4.8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.3x-0.3x+y+0.3y=4.8-3.3$$

הוסף את ‎\frac{3x}{10} ל- ‎-\frac{3x}{10}. האיברים ‎\frac{3x}{10} ו- ‎-\frac{3x}{10} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+0.3y=4.8-3.3$$

הוסף את ‎y ל- ‎\frac{3y}{10}.

$$1.3y=4.8-3.3$$

הוסף את ‎4.8 ל- ‎-3.3 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$1.3y=1.5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{15}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{15}{13} במקום y ב- ‎x-y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\frac{15}{13}=11$$

הוסף ‎\frac{15}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{158}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$