פתור את {l}{0.2x+0.3y=0.2}{0.4x+0.1y=0.4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.3 y = 0.2 } \\ { 0.4 x + 0.1 y = 0.4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.2x+0.3y=0.2,0.4x+0.1y=0.4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.2x+0.3y=0.2$$

החסר ‎\frac{3y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$0.2x=-0.3y+0.2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=5\left(-0.3y+0.2\right)$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{3y}{10}+0.2.

$$x=-1.5y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.4x+0.1y=0.4.

$$0.4\left(-1.5y+1\right)+0.1y=0.4$$

הכפל את ‎0.4 ב- ‎-\frac{3y}{2}+1.

$$-0.6y+0.4+0.1y=0.4$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{5} ל- ‎\frac{y}{10}.

$$-0.5y+0.4=0.4$$

החסר ‎0.4 משני אגפי המשוואה.

$$-0.5y=0$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-1.5y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.2x+0.3y=0.2,0.4x+0.1y=0.4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.1}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}&-\frac{0.3}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}\\-\frac{0.4}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}&\frac{0.2}{0.2\times 0.1-0.3\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.2\\0.4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.2+3\times 0.4\\4\times 0.2-2\times 0.4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.2x+0.3y=0.2,0.4x+0.1y=0.4$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{5} ו- ‎\frac{2x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.2.

$$0.4\times 0.2x+0.4\times 0.3y=0.4\times 0.2,0.2\times 0.4x+0.2\times 0.1y=0.2\times 0.4$$

פשט.

$$0.08x+0.12y=0.08,0.08x+0.02y=0.08$$

החסר את ‎0.08x+0.02y=0.08 מ- ‎0.08x+0.12y=0.08 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.08x-0.08x+0.12y-0.02y=\frac{2-2}{25}$$

הוסף את ‎\frac{2x}{25} ל- ‎-\frac{2x}{25}. האיברים ‎\frac{2x}{25} ו- ‎-\frac{2x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.12y-0.02y=\frac{2-2}{25}$$

הוסף את ‎\frac{3y}{25} ל- ‎-\frac{y}{50}.

$$0.1y=\frac{2-2}{25}$$

הוסף את ‎0.08 ל- ‎-0.08 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.1y=0$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎0.4x+0.1y=0.4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.4x=0.4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$