פתור את {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור r, t

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור r על-ידי בידוד r בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

החסר ‎\frac{t}{50} משני אגפי המשוואה.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.07, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

הכפל את ‎\frac{100}{7} ב- ‎-\frac{t}{50}+0.16.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2t+16}{7} במקום ‎r במשוואה השניה, ‎0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

הכפל את ‎0.05 ב- ‎\frac{-2t+16}{7}.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

הוסף את ‎-\frac{t}{70} ל- ‎-\frac{3t}{100}.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

החסר ‎\frac{4}{35} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{31}{700}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$t=-\frac{67}{31}$$

השתמש ב- ‎-\frac{67}{31} במקום t ב- ‎r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את r ישירות.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{7} ב- ‎-\frac{67}{31} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

הוסף את ‎\frac{16}{7} ל- ‎\frac{134}{217} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$r=\frac{90}{31}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה r ו- t.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

כדי להפוך את ‎\frac{7r}{100} ו- ‎\frac{r}{20} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.05 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.07.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

פשט.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

החסר את ‎0.0035r-0.0021t=0.0147 מ- ‎0.0035r+0.001t=0.008 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

הוסף את ‎\frac{7r}{2000} ל- ‎-\frac{7r}{2000}. האיברים ‎\frac{7r}{2000} ו- ‎-\frac{7r}{2000} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

הוסף את ‎\frac{t}{1000} ל- ‎\frac{21t}{10000}.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

הוסף את ‎0.008 ל- ‎-0.0147 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.0031t=-0.0067$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.0031, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$t=-\frac{67}{31}$$

השתמש ב- ‎-\frac{67}{31} במקום t ב- ‎0.05r-0.03t=0.21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את r ישירות.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

הכפל את ‎-0.03 ב- ‎-\frac{67}{31} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

החסר ‎\frac{201}{3100} משני אגפי המשוואה.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎20.

$$r=\frac{90}{31}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$