פתור את {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.6x+2y=20$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$0.6x=-2y+20$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-10y+100}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

הוסף את ‎\frac{40y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

הוסף את ‎-\frac{400}{3} ל- ‎2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

הוסף ‎\frac{394}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{43}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{391}{43}$$

השתמש ב- ‎\frac{391}{43} במקום y ב- ‎x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{10}{3} ב- ‎\frac{391}{43} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

הוסף את ‎\frac{100}{3} ל- ‎-\frac{3910}{129} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{130}{43}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

כדי להפוך את ‎\frac{3x}{5} ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.6.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

פשט.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

החסר את ‎-2.4x+0.6y+1.2=-0.6 מ- ‎-2.4x-8y=-80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

הוסף את ‎-\frac{12x}{5} ל- ‎\frac{12x}{5}. האיברים ‎-\frac{12x}{5} ו- ‎\frac{12x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎-\frac{3y}{5}.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

הוסף את ‎-80 ל- ‎0.6.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

הוסף ‎1.2 לשני אגפי המשוואה.

$$-8.6y=-78.2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-8.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{391}{43}$$

השתמש ב- ‎\frac{391}{43} במקום y ב- ‎-4x+y+2=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

הוסף את ‎\frac{391}{43} ל- ‎2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

החסר ‎\frac{477}{43} משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=\frac{130}{43}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$