פתור את {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-0.6$$

$$y=-3.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -0.3 ב- 2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

הוסף ‎0.3 משני הצדדים.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

חבר את ‎1.5 ו- ‎0.3 כדי לקבל ‎1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

כנס את ‎3y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎y.

$$3x+3+y=-2$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$3x+y=-2-3$$

החסר את 3 מ- -2 כדי לקבל -5.

$$3x+y=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

הוסף ‎\frac{3y}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$0.2x=0.6y+1.8$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=5\left(0.6y+1.8\right)$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{3y+9}{5}.

$$x=3y+9$$

השתמש ב- ‎9+3y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=-5.

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎9+3y.

$$9y+27+y=-5$$

הוסף את ‎9y ל- ‎y.

$$10y+27=-5$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$10y=-32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-\frac{16}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{16}{5} במקום y ב- ‎x=3y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{16}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-\frac{48}{5}.

$$x=-\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -0.3 ב- 2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

הוסף ‎0.3 משני הצדדים.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

חבר את ‎1.5 ו- ‎0.3 כדי לקבל ‎1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

כנס את ‎3y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎y.

$$3x+3+y=-2$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$3x+y=-2-3$$

החסר את 3 מ- -2 כדי לקבל -5.

$$3x+y=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&-\frac{-0.6}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&\frac{0.2}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1.8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1.8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -0.3 ב- 2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

הוסף ‎0.3 משני הצדדים.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

חבר את ‎1.5 ו- ‎0.3 כדי לקבל ‎1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

כנס את ‎3y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎y.

$$3x+3+y=-2$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$3x+y=-2-3$$

החסר את 3 מ- -2 כדי לקבל -5.

$$3x+y=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{5} ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎0.2.

$$3\times 0.2x+3\left(-0.6\right)y=3\times 1.8,0.2\times 3x+0.2y=0.2\left(-5\right)$$

פשט.

$$0.6x-1.8y=5.4,0.6x+0.2y=-1$$

החסר את ‎0.6x+0.2y=-1 מ- ‎0.6x-1.8y=5.4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.6x-0.6x-1.8y-0.2y=5.4+1$$

הוסף את ‎\frac{3x}{5} ל- ‎-\frac{3x}{5}. האיברים ‎\frac{3x}{5} ו- ‎-\frac{3x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-1.8y-0.2y=5.4+1$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{5} ל- ‎-\frac{y}{5}.

$$-2y=5.4+1$$

הוסף את ‎5.4 ל- ‎1.

$$-2y=6.4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-\frac{16}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{16}{5} במקום y ב- ‎3x+y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

הוסף ‎\frac{16}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$