פתור את {l}{-x-3y=0}{y=-1/2x+2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x - 3 y = 0 } \\ { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=12$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{1}{2}x משני הצדדים.

$$y+\frac{1}{2}x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-3y=0,\frac{1}{2}x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-3y=0$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=3y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-3y$$

השתמש ב- ‎-3y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{2}x+y=2.

$$\frac{1}{2}\left(-3\right)y+y=2$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y.

$$-\frac{3}{2}y+y=2$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y=2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=-3y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\left(-4\right)$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-4.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{1}{2}x משני הצדדים.

$$y+\frac{1}{2}x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-3y=0,\frac{1}{2}x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-3\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{-1-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 2\\-2\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=12,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{1}{2}x משני הצדדים.

$$y+\frac{1}{2}x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-3y=0,\frac{1}{2}x+y=2$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎\frac{x}{2} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{2} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$\frac{1}{2}\left(-1\right)x+\frac{1}{2}\left(-3\right)y=0,-\frac{1}{2}x-y=-2$$

פשט.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y=0,-\frac{1}{2}x-y=-2$$

החסר את ‎-\frac{1}{2}x-y=-2 מ- ‎-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y+y=2$$

הוסף את ‎-\frac{x}{2} ל- ‎\frac{x}{2}. האיברים ‎-\frac{x}{2} ו- ‎\frac{x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{3}{2}y+y=2$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y=2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎\frac{1}{2}x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{2}x-4=2$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}x=6$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=-4$$