פתור את {l}{-x+4y=-11}{3x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 4 y = - 11 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+4y=-11,3x+y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+4y=-11$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-4y-11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-4y-11\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-4y-11.

$$x=4y+11$$

השתמש ב- ‎4y+11 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=7.

$$3\left(4y+11\right)+y=7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4y+11.

$$12y+33+y=7$$

הוסף את ‎12y ל- ‎y.

$$13y+33=7$$

החסר ‎33 משני אגפי המשוואה.

$$13y=-26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=4y+11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=4\left(-2\right)+11$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2.

$$x=-8+11$$

הוסף את ‎11 ל- ‎-8.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+4y=-11,3x+y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-4\times 3}&-\frac{4}{-1-4\times 3}\\-\frac{3}{-1-4\times 3}&-\frac{1}{-1-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-11\right)+\frac{4}{13}\times 7\\\frac{3}{13}\left(-11\right)+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+4y=-11,3x+y=7$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$3\left(-1\right)x+3\times 4y=3\left(-11\right),-3x-y=-7$$

פשט.

$$-3x+12y=-33,-3x-y=-7$$

החסר את ‎-3x-y=-7 מ- ‎-3x+12y=-33 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+12y+y=-33+7$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y+y=-33+7$$

הוסף את ‎12y ל- ‎y.

$$13y=-33+7$$

הוסף את ‎-33 ל- ‎7.

$$13y=-26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎3x+y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2=7$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$