פתור את {l}{-x+3y=2}{2x-5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=31$$

$$y=11$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+3y=2$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-3y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-3y+2\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-3y+2.

$$x=3y-2$$

השתמש ב- ‎3y-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-5y=7.

$$2\left(3y-2\right)-5y=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3y-2.

$$6y-4-5y=7$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-5y.

$$y-4=7$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎x=3y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\times 11-2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎11.

$$x=33-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎33.

$$x=31$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=31,y=11$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{3}{-\left(-5\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 2+3\times 7\\2\times 2+7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=31,y=11$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 2,-2x-\left(-5y\right)=-7$$

פשט.

$$-2x+6y=4,-2x+5y=-7$$

החסר את ‎-2x+5y=-7 מ- ‎-2x+6y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+6y-5y=4+7$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-5y=4+7$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-5y.

$$y=4+7$$

הוסף את ‎4 ל- ‎7.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎2x-5y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-5\times 11=7$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎11.

$$2x-55=7$$

הוסף ‎55 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=62$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=31$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=31,y=11$$