פתור את {l}{-x+2y=8}{2x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+2y=8,2x+y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+2y=8$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-2y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-2y+8\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-2y+8.

$$x=2y-8$$

השתמש ב- ‎-8+2y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=-1.

$$2\left(2y-8\right)+y=-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-8+2y.

$$4y-16+y=-1$$

הוסף את ‎4y ל- ‎y.

$$5y-16=-1$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=2y-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\times 3-8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=6-8$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎6.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+2y=8,2x+y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 2}&-\frac{2}{-1-2\times 2}\\-\frac{2}{-1-2\times 2}&-\frac{1}{-1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+2y=8,2x+y=-1$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\times 8,-2x-y=-\left(-1\right)$$

פשט.

$$-2x+4y=16,-2x-y=1$$

החסר את ‎-2x-y=1 מ- ‎-2x+4y=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+4y+y=16-1$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+y=16-1$$

הוסף את ‎4y ל- ‎y.

$$5y=16-1$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-1.

$$5y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎2x+y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3=-1$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$