פתור את {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x+4y=24$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$-8x=-4y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎-4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}-3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{2} ל- ‎7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{2}y=7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎2.

$$x=1-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎1.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎-7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

פשט.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

החסר את ‎56x-56y=-224 מ- ‎56x-28y=-168 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

הוסף את ‎56x ל- ‎-56x. האיברים ‎56x ו- ‎-56x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-28y+56y=-168+224$$

הוסף את ‎-28y ל- ‎56y.

$$28y=-168+224$$

הוסף את ‎-168 ל- ‎224.

$$28y=56$$

חלק את שני האגפים ב- ‎28.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎-7x+7y=28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-7x+7\times 2=28$$

הכפל את ‎7 ב- ‎2.

$$-7x+14=28$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$-7x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=2$$