פתור את {l}{-7x-2y=14}{6x+6y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 2 y = 14 } \\ { 6 x + 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-7x-2y=14$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$-7x=2y+14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y+14\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7} ב- ‎14+2y.

$$x=-\frac{2}{7}y-2$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{7}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+6y=18.

$$6\left(-\frac{2}{7}y-2\right)+6y=18$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{2y}{7}-2.

$$-\frac{12}{7}y-12+6y=18$$

הוסף את ‎-\frac{12y}{7} ל- ‎6y.

$$\frac{30}{7}y-12=18$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{30}{7}y=30$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{30}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{7}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{7}\times 7-2$$

הכפל את ‎-\frac{2}{7} ב- ‎7.

$$x=-2-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-2.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14-\frac{1}{15}\times 18\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{7}{30}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

כדי להפוך את ‎-7x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-7.

$$6\left(-7\right)x+6\left(-2\right)y=6\times 14,-7\times 6x-7\times 6y=-7\times 18$$

פשט.

$$-42x-12y=84,-42x-42y=-126$$

החסר את ‎-42x-42y=-126 מ- ‎-42x-12y=84 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-42x+42x-12y+42y=84+126$$

הוסף את ‎-42x ל- ‎42x. האיברים ‎-42x ו- ‎42x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y+42y=84+126$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎42y.

$$30y=84+126$$

הוסף את ‎84 ל- ‎126.

$$30y=210$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎6x+6y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+6\times 7=18$$

הכפל את ‎6 ב- ‎7.

$$6x+42=18$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$6x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=7$$