פתור את {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎10x משני האגפים.

$$5y-10x=-15$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-5x+y=-12$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-y-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{12+y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎\frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎5y.

$$3y-24=-15$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

הוסף את ‎\frac{12}{5} ל- ‎\frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎10x משני האגפים.

$$5y-10x=-15$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎10x משני האגפים.

$$5y-10x=-15$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

כדי להפוך את ‎-5x ו- ‎-10x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

פשט.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

החסר את ‎50x-25y=75 מ- ‎50x-10y=120 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y+25y=120-75$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎25y.

$$15y=120-75$$

הוסף את ‎120 ל- ‎-75.

$$15y=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎-10x+5y=-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-10x+5\times 3=-15$$

הכפל את ‎5 ב- ‎3.

$$-10x+15=-15$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-10x=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=3$$