פתור את {l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x-2y=-16$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=2y-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-16+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{2} ל- ‎-5y.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎2.

$$x=-1+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-1.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

פשט.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

החסר את ‎-28x+20y=-44 מ- ‎-28x-14y=-112 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

הוסף את ‎-28x ל- ‎28x. האיברים ‎-28x ו- ‎28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-14y-20y=-112+44$$

הוסף את ‎-14y ל- ‎-20y.

$$-34y=-112+44$$

הוסף את ‎-112 ל- ‎44.

$$-34y=-68$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-34.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎7x-5y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-5\times 2=11$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎2.

$$7x-10=11$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$