פתור את {l}{-3x+5y=1}{4x-y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x+5y=1$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-5y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-5y+1.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=10.

$$4\left(\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=10$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{5y-1}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{4}{3}-y=10$$

הוסף את ‎\frac{20y}{3} ל- ‎-y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{4}{3}=10$$

הוסף ‎\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎2.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{5}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{5}{17}\times 10\\\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$4\left(-3\right)x+4\times 5y=4,-3\times 4x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

פשט.

$$-12x+20y=4,-12x+3y=-30$$

החסר את ‎-12x+3y=-30 מ- ‎-12x+20y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x+20y-3y=4+30$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-3y=4+30$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-3y.

$$17y=4+30$$

הוסף את ‎4 ל- ‎30.

$$17y=34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎4x-y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-2=10$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$