פתור את {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4a משני האגפים.

$$-3a-4a=2b-3$$

כנס את ‎-3a ו- ‎-4a כדי לקבל ‎-7a.

$$-7a=2b-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7} ב- ‎2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2b+3}{7} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎-2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

הוסף את ‎\frac{4b}{7} ל- ‎-b.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

הוסף ‎\frac{6}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום b ב- ‎a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{7} ב- ‎-2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

הוסף את ‎\frac{3}{7} ל- ‎\frac{4}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=1,b=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4a משני האגפים.

$$-3a-4a=2b-3$$

כנס את ‎-3a ו- ‎-4a כדי לקבל ‎-7a.

$$-7a=2b-3$$

החסר ‎2b משני האגפים.

$$-7a-2b=-3$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה a אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2a.

$$-b=2a$$

החסר ‎2a משני האגפים.

$$-b-2a=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=1,b=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4a משני האגפים.

$$-3a-4a=2b-3$$

כנס את ‎-3a ו- ‎-4a כדי לקבל ‎-7a.

$$-7a=2b-3$$

החסר ‎2b משני האגפים.

$$-7a-2b=-3$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה a אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2a.

$$-b=2a$$

החסר ‎2a משני האגפים.

$$-b-2a=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

כדי להפוך את ‎-7a ו- ‎-2a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-7.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

פשט.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

החסר את ‎14a+7b=0 מ- ‎14a+4b=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

הוסף את ‎14a ל- ‎-14a. האיברים ‎14a ו- ‎-14a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4b-7b=6$$

הוסף את ‎4b ל- ‎-7b.

$$-3b=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$b=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום b ב- ‎-2a-b=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-2a=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$a=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=1,b=-2$$