פתור את {l}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$-9x+3y-2y=2x$$

כנס את ‎3y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎y.

$$-9x+y=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-9x+y-2x=0$$

כנס את ‎-9x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-11x.

$$-11x+y=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

כנס את ‎-6x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-8x.

$$-8x-3y=-6y$$

הוסף ‎6y משני הצדדים.

$$-8x-3y+6y=0$$

כנס את ‎-3y ו- ‎6y כדי לקבל ‎3y.

$$-8x+3y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-11x+y=0$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-11x=-y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

הכפל את ‎-\frac{1}{11} ב- ‎-y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{11} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

הוסף את ‎-\frac{8y}{11} ל- ‎3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{25}{11}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{11}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$-9x+3y-2y=2x$$

כנס את ‎3y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎y.

$$-9x+y=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-9x+y-2x=0$$

כנס את ‎-9x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-11x.

$$-11x+y=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

כנס את ‎-6x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-8x.

$$-8x-3y=-6y$$

הוסף ‎6y משני הצדדים.

$$-8x-3y+6y=0$$

כנס את ‎-3y ו- ‎6y כדי לקבל ‎3y.

$$-8x+3y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$-9x+3y-2y=2x$$

כנס את ‎3y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎y.

$$-9x+y=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-9x+y-2x=0$$

כנס את ‎-9x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-11x.

$$-11x+y=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

כנס את ‎-6x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-8x.

$$-8x-3y=-6y$$

הוסף ‎6y משני הצדדים.

$$-8x-3y+6y=0$$

כנס את ‎-3y ו- ‎6y כדי לקבל ‎3y.

$$-8x+3y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

כדי להפוך את ‎-11x ו- ‎-8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

פשט.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

החסר את ‎88x-33y=0 מ- ‎88x-8y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

הוסף את ‎88x ל- ‎-88x. האיברים ‎88x ו- ‎-88x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8y+33y=0$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎33y.

$$25y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎-8x+3y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=0$$