פתור את {l}{-2x+3y=9}{7x-9y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 9 } \\ { 7 x - 9 y = - 31 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x+3y=9$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-3y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-3y+9.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-9+3y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-9y=-31.

$$7\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-9y=-31$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{-9+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y-\frac{63}{2}-9y=-31$$

הוסף את ‎\frac{21y}{2} ל- ‎-9y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}=-31$$

הוסף ‎\frac{63}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1-9}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{9}{2} ל- ‎\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{3}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{2}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 9-31\\\frac{7}{3}\times 9+\frac{2}{3}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

כדי להפוך את ‎-2x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\times 9,-2\times 7x-2\left(-9\right)y=-2\left(-31\right)$$

פשט.

$$-14x+21y=63,-14x+18y=62$$

החסר את ‎-14x+18y=62 מ- ‎-14x+21y=63 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-14x+14x+21y-18y=63-62$$

הוסף את ‎-14x ל- ‎14x. האיברים ‎-14x ו- ‎14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y-18y=63-62$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-18y.

$$3y=63-62$$

הוסף את ‎63 ל- ‎-62.

$$3y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום y ב- ‎7x-9y=-31. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-9\times \frac{1}{3}=-31$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎\frac{1}{3}.

$$7x-3=-31$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$