פתור את {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2a-b+8=0$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-2a-b=-8$$

הוסף ‎b לשני אגפי המשוואה.

$$-2a=b-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{b}{2}+4 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

הוסף את ‎-\frac{b}{2} ל- ‎-2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

הוסף את ‎4 ל- ‎1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום b ב- ‎a=-\frac{1}{2}b+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎2.

$$a=-1+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-1.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=3,b=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

כדי להפוך את ‎-2a ו- ‎a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

פשט.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

החסר את ‎-2a+4b-2=0 מ- ‎-2a-b+8=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

הוסף את ‎-2a ל- ‎2a. האיברים ‎-2a ו- ‎2a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-b-4b+8+2=0$$

הוסף את ‎-b ל- ‎-4b.

$$-5b+8+2=0$$

הוסף את ‎8 ל- ‎2.

$$-5b+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-5b=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$b=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום b ב- ‎a-2b+1=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-2\times 2+1=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎2.

$$a-4+1=0$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎1.

$$a-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=2$$