פתור את {l}{-2=3x+y}{2=-7x+y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 = 3 x + y } \\ { 2 = - 7 x + y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$y=-\frac{4}{5}=-0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3x+y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-7x+y=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=-2,-7x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=-2$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y-2.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x+y=2.

$$-7\left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+y=2$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{-y-2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}+y=2$$

הוסף את ‎\frac{7y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}=2$$

החסר ‎\frac{14}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{8}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{4}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{4}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{4}{15}-\frac{2}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{3} ל- ‎\frac{4}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{2}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{4}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3x+y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-7x+y=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=-2,-7x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-7\right)}&-\frac{1}{3-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{3-\left(-7\right)}&\frac{3}{3-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\\\frac{7}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-2\right)-\frac{1}{10}\times 2\\\frac{7}{10}\left(-2\right)+\frac{3}{10}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{4}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3x+y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-7x+y=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=-2,-7x+y=2$$

החסר את ‎-7x+y=2 מ- ‎3x+y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x+7x+y-y=-2-2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x+7x=-2-2$$

הוסף את ‎3x ל- ‎7x.

$$10x=-2-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-2.

$$10x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=-\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום x ב- ‎-7x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-7\left(-\frac{2}{5}\right)+y=2$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-\frac{2}{5}.

$$\frac{14}{5}+y=2$$

החסר ‎\frac{14}{5} משני אגפי המשוואה.

$$y=-\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{4}{5}$$