פתור את {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-10x-3y=9$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$-10x=3y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{10} ב- ‎9+3y.

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-9}{10} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+5y=-2.

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{-3y-9}{10}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{10} ב- ‎-1.

$$x=\frac{3-9}{10}$$

הוסף את ‎-\frac{9}{10} ל- ‎\frac{3}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

כדי להפוך את ‎-10x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-10.

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

פשט.

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

החסר את ‎50x-50y=20 מ- ‎50x+15y=-45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y+50y=-45-20$$

הוסף את ‎15y ל- ‎50y.

$$65y=-45-20$$

הוסף את ‎-45 ל- ‎-20.

$$65y=-65$$

חלק את שני האגפים ב- ‎65.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-5x+5y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-1.

$$-5x-5=-2$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$-5x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$