פתור את {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=11$$

$$y=36$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-10x+3y=-2$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$-10x=-3y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{10} ב- ‎-3y-2.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{10}+\frac{1}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y}{10}+\frac{1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎-y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

החסר ‎\frac{4}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=36$$

השתמש ב- ‎36 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3}{10} ב- ‎36.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎\frac{54}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=11$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=11,y=36$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=11,y=36$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

כדי להפוך את ‎-10x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-10.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

פשט.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

החסר את ‎-40x+10y=-80 מ- ‎-40x+12y=-8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

הוסף את ‎-40x ל- ‎40x. האיברים ‎-40x ו- ‎40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-10y=-8+80$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-10y.

$$2y=-8+80$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎80.

$$2y=72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=36$$

השתמש ב- ‎36 במקום y ב- ‎4x-y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-36=8$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=11$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=11,y=36$$