פתור את {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

כנס את ‎-4x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

שקול את \left(3-x\right)\left(3+x\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎3 בריבוע.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎9-x^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

החסר את 9 מ- 1 כדי לקבל -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-6x+4+4y=-8$$

החסר ‎4 משני האגפים.

$$-6x+4y=-8-4$$

החסר את 4 מ- -8 כדי לקבל -12.

$$-6x+4y=-12$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-6x+4y=-12$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-4y-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{3}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{3}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

כנס את ‎-4x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

שקול את \left(3-x\right)\left(3+x\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎3 בריבוע.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎9-x^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

החסר את 9 מ- 1 כדי לקבל -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-6x+4+4y=-8$$

החסר ‎4 משני האגפים.

$$-6x+4y=-8-4$$

החסר את 4 מ- -8 כדי לקבל -12.

$$-6x+4y=-12$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

כנס את ‎-4x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

שקול את \left(3-x\right)\left(3+x\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎3 בריבוע.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎9-x^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

החסר את 9 מ- 1 כדי לקבל -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-6x+4+4y=-8$$

החסר ‎4 משני האגפים.

$$-6x+4y=-8-4$$

החסר את 4 מ- -8 כדי לקבל -12.

$$-6x+4y=-12$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

כדי להפוך את ‎-6x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

פשט.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

החסר את ‎-12x-6y=-24 מ- ‎-12x+8y=-24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y+6y=-24+24$$

הוסף את ‎8y ל- ‎6y.

$$14y=-24+24$$

הוסף את ‎-24 ל- ‎24.

$$14y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎2x+y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=0$$