פתור את {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$4x+5=5y$$

החסר ‎5y משני האגפים.

$$4x+5-5y=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$4x-5y=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-5y=-5$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=5y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5+5y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

הוסף את ‎\frac{15y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

הוסף ‎\frac{15}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{4} ל- ‎\frac{5}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$4x+5=5y$$

החסר ‎5y משני האגפים.

$$4x+5-5y=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$4x-5y=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$4x+5=5y$$

החסר ‎5y משני האגפים.

$$4x+5-5y=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$4x-5y=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

פשט.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

החסר את ‎12x+4y=4 מ- ‎12x-15y=-15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-4y=-15-4$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-4y.

$$-19y=-15-4$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎-4.

$$-19y=-19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎3x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+1=1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=1$$