פתור את {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

הוסף את ‎4026 ל- ‎2012.

$$a-2b+6038=3$$

החסר ‎6038 משני אגפי המשוואה.

$$a-2b=-6035$$

הוסף ‎2b לשני אגפי המשוואה.

$$a=2b-6035$$

השתמש ב- ‎2b-6035 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

הוסף את ‎-6035 ל- ‎2012.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

הוסף את ‎6b ל- ‎4b.

$$10b-12069-8052=5$$

הוסף את ‎-12069 ל- ‎-8052.

$$10b-20121=5$$

הוסף ‎20121 לשני אגפי המשוואה.

$$10b=20126$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$b=\frac{10063}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{10063}{5} במקום b ב- ‎a=2b-6035. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

הוסף את ‎-6035 ל- ‎\frac{20126}{5}.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

פשט את המשוואה הראשונה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

הוסף את ‎4026 ל- ‎2012.

$$a-2b+6038=3$$

החסר ‎6038 משני אגפי המשוואה.

$$a-2b=-6035$$

פשט את המשוואה השניה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

הוסף את ‎6036 ל- ‎-8052.

$$3a+4b-2016=5$$

הוסף ‎2016 לשני אגפי המשוואה.

$$3a+4b=2021$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$