פתור את {l}{(A+B)2-B=3}{(2A+B)4-B=17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) 2 - B = 3 } \\ { ( 2 A + B ) 4 - B = 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור A, B

$$A=4$$

$$B=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- 2.

$$2A+2B-B=3$$

כנס את ‎2B ו- ‎-B כדי לקבל ‎B.

$$2A+B=3$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- 4.

$$8A+4B-B=17$$

כנס את ‎4B ו- ‎-B כדי לקבל ‎3B.

$$8A+3B=17$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2A+B=3,8A+3B=17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור A על-ידי בידוד A בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2A+B=3$$

החסר ‎B משני אגפי המשוואה.

$$2A=-B+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$A=\frac{1}{2}\left(-B+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-B+3.

$$A=-\frac{1}{2}B+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-B+3}{2} במקום ‎A במשוואה השניה, ‎8A+3B=17.

$$8\left(-\frac{1}{2}B+\frac{3}{2}\right)+3B=17$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{-B+3}{2}.

$$-4B+12+3B=17$$

הוסף את ‎-4B ל- ‎3B.

$$-B+12=17$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-B=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$B=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום B ב- ‎A=-\frac{1}{2}B+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$A=-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-5.

$$A=\frac{5+3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$A=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=4,B=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- 2.

$$2A+2B-B=3$$

כנס את ‎2B ו- ‎-B כדי לקבל ‎B.

$$2A+B=3$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- 4.

$$8A+4B-B=17$$

כנס את ‎4B ו- ‎-B כדי לקבל ‎3B.

$$8A+3B=17$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2A+B=3,8A+3B=17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-8}&-\frac{1}{2\times 3-8}\\-\frac{8}{2\times 3-8}&\frac{2}{2\times 3-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 17\\4\times 3-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה A ו- B.

$$A=4,B=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- 2.

$$2A+2B-B=3$$

כנס את ‎2B ו- ‎-B כדי לקבל ‎B.

$$2A+B=3$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- 4.

$$8A+4B-B=17$$

כנס את ‎4B ו- ‎-B כדי לקבל ‎3B.

$$8A+3B=17$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2A+B=3,8A+3B=17$$

כדי להפוך את ‎2A ו- ‎8A לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$8\times 2A+8B=8\times 3,2\times 8A+2\times 3B=2\times 17$$

פשט.

$$16A+8B=24,16A+6B=34$$

החסר את ‎16A+6B=34 מ- ‎16A+8B=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$16A-16A+8B-6B=24-34$$

הוסף את ‎16A ל- ‎-16A. האיברים ‎16A ו- ‎-16A מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8B-6B=24-34$$

הוסף את ‎8B ל- ‎-6B.

$$2B=24-34$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-34.

$$2B=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$B=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום B ב- ‎8A+3B=17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$8A+3\left(-5\right)=17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-5.

$$8A-15=17$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$8A=32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$A=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=4,B=-5$$