\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) \frac { 1 } { 2 } - B = \frac { 3 } { 4 } } \\ { ( 2 A + B ) \frac { 1 } { 4 } - B = \frac { 5 } { 4 } } \end{array} \right.
פתור עבור A, B
A=-\frac{1}{2}=-0.5
B=-2
שתף
הועתק ללוח
\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- \frac{1}{2}.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
כנס את \frac{1}{2}B ו- -B כדי לקבל -\frac{1}{2}B.
\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}
שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- \frac{1}{4}.
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
כנס את \frac{1}{4}B ו- -B כדי לקבל -\frac{3}{4}B.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור A על-ידי בידוד A בצד השמאלי של סימן השוויון.
\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}
הוסף \frac{B}{2} לשני אגפי המשוואה.
A=2\left(\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}\right)
הכפל את שני האגפים ב- 2.
A=B+\frac{3}{2}
הכפל את 2 ב- \frac{B}{2}+\frac{3}{4}.
\frac{1}{2}\left(B+\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
השתמש ב- B+\frac{3}{2} במקום A במשוואה השניה, \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}.
\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
הכפל את \frac{1}{2} ב- B+\frac{3}{2}.
-\frac{1}{4}B+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}
הוסף את \frac{B}{2} ל- -\frac{3B}{4}.
-\frac{1}{4}B=\frac{1}{2}
החסר \frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.
B=-2
הכפל את שני האגפים ב- -4.
A=-2+\frac{3}{2}
השתמש ב- -2 במקום B ב- A=B+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.
A=-\frac{1}{2}
הוסף את \frac{3}{2} ל- -2.
A=-\frac{1}{2},B=-2
המערכת נפתרה כעת.
\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- \frac{1}{2}.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
כנס את \frac{1}{2}B ו- -B כדי לקבל -\frac{1}{2}B.
\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}
שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- \frac{1}{4}.
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
כנס את \frac{1}{4}B ו- -B כדי לקבל -\frac{3}{4}B.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\\4\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-2\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
A=-\frac{1}{2},B=-2
חלץ את רכיבי המטריצה A ו- B.
\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- \frac{1}{2}.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
כנס את \frac{1}{2}B ו- -B כדי לקבל -\frac{1}{2}B.
\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}
שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- \frac{1}{4}.
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
כנס את \frac{1}{4}B ו- -B כדי לקבל -\frac{3}{4}B.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}
החסר את \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} מ- \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}
הוסף את \frac{A}{2} ל- -\frac{A}{2}. האיברים \frac{A}{2} ו- -\frac{A}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
\frac{1}{4}B=\frac{3-5}{4}
הוסף את -\frac{B}{2} ל- \frac{3B}{4}.
\frac{1}{4}B=-\frac{1}{2}
הוסף את \frac{3}{4} ל- -\frac{5}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
B=-2
הכפל את שני האגפים ב- 4.
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-2\right)=\frac{5}{4}
השתמש ב- -2 במקום B ב- \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.
\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}
הכפל את -\frac{3}{4} ב- -2.
\frac{1}{2}A=-\frac{1}{4}
החסר \frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.
A=-\frac{1}{2}
הכפל את שני האגפים ב- 2.
A=-\frac{1}{2},B=-2
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}