פתור את {l}{x/y=e}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎y.

$$x=ey$$

השתמש ב- ‎ey במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=1.

$$ey+y=1$$

הוסף את ‎ey ל- ‎y.

$$\left(e+1\right)y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎e+1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{e+1} במקום y ב- ‎x=ey. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

הכפל את ‎e ב- ‎\frac{1}{e+1}.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

המשתנה y חייב להיות שווה ל- ‎0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎y.

$$x=ey$$

החסר ‎ey משני האגפים.

$$x-ey=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

המשתנה y חייב להיות שווה ל- ‎0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎y.

$$x=ey$$

החסר ‎ey משני האגפים.

$$x-ey=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

החסר את ‎x+y=1 מ- ‎x+\left(-e\right)y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

הוסף את ‎-ey ל- ‎-y.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-e-1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{1+e} במקום y ב- ‎x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

החסר ‎\frac{1}{1+e} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

המשתנה y חייב להיות שווה ל- ‎0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$