פתור את {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=6\left(y-1\right)$$

הכפל את ‎6 ב- ‎y-1.

$$x=6y-6$$

השתמש ב- ‎-6+6y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=6.

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-6+6y.

$$18y-18-2y=6$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-2y.

$$16y-18=6$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$16y=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$y=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום y ב- ‎x=6y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{3}{2}.

$$x=9-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎9.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{6} ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{6}.

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

פשט.

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

החסר את ‎\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 מ- ‎\frac{1}{2}x-3y=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

הוסף את ‎\frac{x}{2} ל- ‎-\frac{x}{2}. האיברים ‎\frac{x}{2} ו- ‎-\frac{x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎\frac{y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-1.

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום y ב- ‎3x-2y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{3}{2}.

$$3x-3=6$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$