פתור את {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,5.

$$5x-6y=-120$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.

$$3x-2y=-24$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-6y=-120$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=6y-120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

השתמש ב- ‎\frac{6y}{5}-24 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

הוסף את ‎\frac{18y}{5} ל- ‎-2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

הוסף ‎72 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{8}{5}y=48$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎x=\frac{6}{5}y-24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

הכפל את ‎\frac{6}{5} ב- ‎30.

$$x=36-24$$

הוסף את ‎-24 ל- ‎36.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,5.

$$5x-6y=-120$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.

$$3x-2y=-24$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=12,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,5.

$$5x-6y=-120$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.

$$3x-2y=-24$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

פשט.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

החסר את ‎15x-10y=-120 מ- ‎15x-18y=-360 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y+10y=-360+120$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎10y.

$$-8y=-360+120$$

הוסף את ‎-360 ל- ‎120.

$$-8y=-240$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎3x-2y=-24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 30=-24$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎30.

$$3x-60=-24$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=30$$